17 décembre 2017

Géométrie du flocon de neige

La nature crée parfois des motifs géométriques incroyables. À l’image des flocons de neige...

Julie tient un flocon de neige de von Koch, appelé ainsi en l'honneur du savant suédois qui l'a découvert.
Julie tient un flocon de neige de von Koch, appelé ainsi en l'honneur du savant suédois qui l'a découvert.

1 L’hiver semble inspirer Julie. À l’aide d’une règle, d’un compas et d’un crayon, elle va ainsi faire l’esquisse, sur une feuille cartonnée A3 blanche, d’une étoile des neiges que les mathématiciens connaissent bien.

2 Notre artiste commence par dessiner untriangle équilatéral de 21 cm de côté. Elle utilise ensuite le tiers central de chaque segment pour créer de nouveaux triangles équilatéraux. Et ainsi de suite jusqu’à obtenir la figure désirée.

3 Après avoir tracé un, puis trois, puis douze triangles équilatéraux (elle aurait pu théoriquement continuer jusqu’à l’infini et au-­delà), Julie dégaine sa paire de ciseaux et découpe avec habileté son flocon en carton.

4 Et voilà enfin une jolie étoile des neiges pour décorer la maison à la veille de Noël! Une étoile des neiges que les scientifiques ont baptisée flocon de von Koch, en l’honneur du savant suédois qui l’a découverte.

Le phénomène

Julie a réalisé les deux premières étapes de la construction du flocon de von Koch. En répétant cette construction indéfiniment (dessiner un triangle équilatéral au milieu de chaque segment), on obtient une fractale, c’est-à-dire un objet mathématique théorique – inspiré d’objets de la nature (ici, le flocon de neige) – qui se compose de motifs géométriques similaires (ici, des triangles équilatéraux de plus en plus riquiquis). Fait étonnant: cet objet aura un bord d’une longueur infinie bien que son aire soit finie!

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